Kalkulus

KALKULUS SENTENSIAL

1.      Konstanta Logis; Logika Lama dan Logika Baru

Konstanta-konstanta yang telah kita uraikan pada tiap teori ilmiah dapat dibagi dalam dua kelompok besar. Kelompok pertama terdiri dari syarat-syarat khusus sebuah teori. Dalam hal aritmatika, sebagai contoh, yaitu syarat-syarat yang menunjukkan salah satu bilangan tunggal atau bilangan bulat, relasi antara bilangan, operasi bilangan, dan lain sebagainya; konstanta yang kita gunakan pada bab I sebagai contoh termasuk antara lain disini. Di lain pihak, yaitu syarat dari beberapa sifat umum terdapat sebagian pernyataan aritmatika, syarat yang ditemui terus menerus keduanya dalam pertimbangan hidup setiap hari dan pada setiap kemungkinan dasar ilmu pengetahuan, dan menunjukkan suatu cara yang sangat diperlukan untuk membawa perhatian manusia dan untuk menyediakan kesimpulan pada beberapa dasar seperti kata “bukan”, “dan” “atau”, “yaitu”, “tiap”, “beberapa” dan beberapa yang lain termasuk disini. Yaitu sebuah mata pelajaran khusus, yaitu LOGIKA, pertimbangkan dasar untuk semua ilmu pengetahuan lainnya, yang mempunyai pertimbangan untuk menentukan arti sebagai syarat-syarat dan untuk menetapkan hukum umum yang mempunyai syarat-syarat yang berbelit-belit.

Logika berkembang menjadi suatu ilmu pengetahuan sendiri beberapa waktu yang lalu, earlier even daripada aritmatika dan geometri. Dan baru-baru ini-setelah waktu yang lama dari stagnasi yang hampir lengkap yaitu mata pelajaran yang dimulai dengan sebuah perkembangan yang intensif, pada bagian yang telah dilalui pada sebuah transformasi lengkap dengan pengaruh dari pengambilan sebuah sifat yang serupa yaitu dari mata pelajaran matematika; bentuk baru ini dikenal dengan MATEMATIKA atau DEDUKTIF atau ILMU LOGIKA YANG DINYATAKAN DENGAN SIMBOL-SIMBOL, dan kadang-kadang disebut juga Logistik. Logika baru lebih unggul dibanding logika lama dalam beberapa hal, bukan hanya karena dasar kepadatan dan kesempurnaan metode-metode yang dipakai pada perkembangan selanjutnya, tapi sebagian besar karena kelebihan konsep dan teorema-teorema yang tidak bisa dipungkiri. Dasarnya, logika tradisional lama hanya berbentuk potongan-potongan baru, suatu potongan-potongan yang selain itu, dari sudut pandang syarat-syarat ilmu pengetahuan lainnya, dan matematika, yaitu sama sekali tidak berarti. Jadi, maksud dari hal yang kita miliki disini, akan ada dalam buku lengkap ini tapi sangat sedikit kesempatan untuk mengambil bahan sebagai pertimbangan kita dari logika tradisional.

2.      Kalkulus Sentenstial; Kalimat Negasi, Konjungsi Dan Kalimat Disjungsi

Diantara syarat-syarat dari suatu sifat logis dibedakan dalam kelompok kecil, terdiri dari kata-kata seperti “bukan” “dan” “atau” “jika….., maka……..” semua kata-kata itu terkenal bagi dari bahasa sehari-hari, dan digunakan untuk membuat kalimat gabungan dari satu penyederhana. Dalam tata bahasa, mereka diperhitungkan diantara apa yang dinamakan konjungsi sentensial. Jika hanya untuk alasan ini, kehadiran syarat-syarat ini tidak dapat menunjukkan suatu sifat khusus dari beberapa fakta ilmu pengetahuan untuk membentuk arti dan pemakaian syarat-syarat ini yaitu tugas paling dasar dan paling pokok pada bagian logika, yang disebut KALKULUS SENTENSIAL, atau kadang-kadang KALKULUS PROPOSIONAL atau (less happily) TEORI DEDUKSI.

Sekarang kita akan membicarakan arti KALKULUS SENTENSIAL penting dari istilah dengan bantuan dari kata-kata “tidak” salah satu bentuk NEGASI dari beberapa kalimat, dua kalimat; yang pertama adalah negasi kedua, yaitu disebut KALIMAT PENYANGKAL pada KALKULUS SENTENSIAL, kata “tidak” diletakkan di depan seluruh kalimat, sedangkan dalam bahasa, sehari-hari biasa ditempatkan dengan kata kerja, atau bentuk yang diinginkan mempunyai awalan kalimat, harus diganti dengan frase “tidak” ini tidak berarti “tidak”, jadi sebagai contoh negasi dari kalimat:

1 adalah bilangan bulat positif

dibaca sebagai berikut:

1 bukan bilangan bulat positif

atau yang lain

Tidak selamanya  1 adalah bilangan bulat positif

Kapan saja kita dapat menyatakan negasi dari sebuah kalimat, kita diharapkan menyatakan ide dari kalimat yang salah; jika kalimat itu benar-benar salah, negasi itu benar, meskipun sebaliknya negasi itu salah.

Menghubungkan 2 kalimat (atau lebih) dengan kata “dan” hasilnya dikenal, dengan KONJUNGSI atau HASIL LOGIS, kalimat yang dihubungkan dengan cara ini disebut ANGGOTA KONJUNGSI atau FAKTOR DARI HASIL LOGIKA jika, sebagai contoh, kalimat:

2 adalah bilangan bulat positif

dan

2 < 3

yaitu dihubungkan dengan cara, kita menghasilkan konjungsi:

2 adalah bilangan bulat positif dan 2 < 3

Menguraikan konjungsi dari 2 kalimat adalah sama dengan menguraikan kedua kalimat yang konjungsinya yaitu bentuknya benar jika hal ini benar, kemudian konjungsi adalah benar, tapi jika bilangan satu yang terkecil dari anggota itu salah, kemudian konjungsi itu seluruhnya salah dengan menghubungkan kalimat dengan arti kata “atau” terdapat satu DISJUNGSI dari kalimat-kalimat itu, yang disebut juga JUMLAH LOGIS kalimat-kalimat  berbentuk disjungsi; disebut ANGGOTA DISJUNGSI ATAU PENJUMLAHAN DARI JUMLAH LOGIS. Kata “atau” dalam bahasa sehari-hari mempunyai paling sedikit dua perbedaan arti. Pengertian tersebut dikenal dengan arti tidak eksklusif, disjungsi dari dua kalimat hanya menjelaskan, paling sedikit satu dari kalimat-kalimat yang benar tersebut; tanpa mengatakan apapun sebagai apakah atau bukan kedua kalimat yang benar; mengambil pengertian yang lain, dikenal satu EKSLUSIF, disjungsi dari dua kalimat menyatakan bahwa satu kalimat yang benar tapi yang lain salah. Andaikata kita lihat pemberitahuan berikut yang diletakkan di atas sebuah toko buku:

Pelangganan guru atau mahasiswa berhak untuk mendapat potongan harga khusus

Kata “atau” di sini yaitu pasti digunakan pada arti pertama, karena bukan dimaksudkan untuk menolak potongan harga kepada seorang guru yang sama waktunya dengan seorang mahasiswa. Jika, di lain pihak, seorang anak menyatakan memilih berjalan kaki di pagi hari dan ke gedung bioskop di sore hari, dan kita menjawab:

Tidak, kita akan pergi dengan jalan kaki atau kita akan pergi ke gedung bioskop,

Kemudian kita menggunakan kata ‘atau” yaitu dengan jelas kedua jenis karena kita bermaksud untuk memenuhi dengan hanya satu dari dua permintaan. Dalam logika dan matematika, kata ‘atau” selalu digunakan pertama arti TIDAK EKSKLUSIF; disjungsi dari dua pernyataan yang dipertimbangkan benar jika keduanya paling sedikit satu anggotanya yang benar, dan sebaliknya salah. Jadi, sebagai contoh, mungkin dinyatakan:

Setiap bilangan positif atau kurang dari 3,

Meskipun tidak diketahui bahwa terdapat bilangan yang keduanya positif dan kurang dari 3. Agar menghindari kesalahpahaman, itu akan bijaksana, dalam setiap hari maupun dalam bahasa ilmiah, penggunaan kata ‘atau’ dengan sendirinya hanya dalam pengertian pertama, dan untuk menggantinya dengan gabungan pernyataan “yang…..atau” kapan saja kedua arti yang dimaksud.

Sekalipun kita membatasinya untuk kasus itu yang dimana kata “atau” teringat dalam maksud yang pertama, kita betul-betul melihat kenyataan yang berbeda diantara penggunaannya dalam bahasa sehari-hari dan dalam logika. Dalam bahasa yang umum dua kalimat mengikat kata “atau” hanya ketika berada dalam beberapa cara yang berhubungan dalam bentuk dan isi. (beberapa pengaplikasian, walaupun mungkin untuk derajat yang lebih kurang, untuk penggunaan kata “dan”). Pada dasarnya hubungan ini tidak nampak jelas dan sebuah analisa yang mendetail dan penggambaran tentang hal itu akan menemui kesulitan. Bagaimanapun juga setiap orang tak biasa dengan bahasa logika yang sekarang dapat kiranya menjadi lebih sedikit sebagaimana yang tertera pada prase sebagai berikut:

2 . 2 = 5 atau, New York adalah kota besar

Sebagai sebuah eksprei yang bermakna dan pada akhirnya itu diterima sebagai kalimat yang benar. Lebih dari itu penggunaan kata “atau” dalam bahasa Inggris sehari-hari adalah pengaruh dari faktor tertentu sebuah karakter psikologi. Biasanya kita menguatkan disjungsi dari dua kalimat. Hanya jika kita percaya itu dari mereka adalah benar tapi keajaiban yang mana. Jika, contohnya, kita melihat langsung halaman rumput pada cahaya normal itu tidak akan masuk artinya dengan kata bahwa rumput adalah hijau atau biru. Semenjak kita dapat menegaskan sesuatu yang sederhana dan pada waktu yang sama. Penguat yaitu bahwa halaman rumput adalah hijau. Kadang kala kita mengungkapkan suatu disjungsi izin dari pembicara bahwa dan tidak tahu yang mana anggota/bagian disjungsi itu benar. dan jika kita lambat mencapai keyakinan/kepastian pada itu ia tahu pada waktu itu satu dan spesial, dimana dan anggota/bagian yang salah. Kita akan cenderung melihat pada seluruh disjungsi seperti kalimat  yang salah selanjutnya anggota lainnya pasti benar. Mari kita bayangkan. Contohnya bahwa seorang teman punya kami. Pada saat berkata ketika ia meninggali kota, menjawab bahwa dua pergi hari ini, besok atau hari sebelumnya. Sekarang kita akan menentukan. Pada waktu, dia telah siap menentukan untuk membicarakan beberapa hari. Kita mungkin akan memperoleh kesan bahwa kita sengaja menyesatkan dan dia menceritakan kepada kita sebuah letak.

Pembuat logika zaman sekarang, ketika memperkenalkan kata “atau” ke dalam pertimbangan, diinginkan boleh jadi tanpa disadari. Arti yang sederhana dan kemudian mengubah penjelas dan diri sendiri dari semua faktor psikologi, khususnya kehadiran atau ketidakhadiran dari pengetahuan, konsekuensinya, mereka diperluas dengan penggunaan kata ‘atau’ dan menentukan untuk mempertimbangkan disjungsi dari beberapa kedua kalimat sebagai arti keseluruhan, selanjutnya tidak berhubungan diantara kepuasan mereka atau bentuk luar, dan juga menentukan pembuat kebenaran anggotanya oleh karena itu manusia menggunakan kata “atau” dalam arti logika zaman sekarang yang akan mempertimbangkan tentang pernyataan yang diberikan di atas

2 .  2 = 5 atau, New York adalah kota besar

Sebagai arti keseluruhan dan kemudian sebuah kalimat benar. Sejak kedua bagian yang tentu saja benar sama halnya jika menganggap bahwa teman kita  telah menanyakan tentang tanggal keberangkatannya, digunakan kata “atau” dalam arti logika yang tepat. Kita akan mendorong untuk mempertimbangkan jawabnya yang benar berdiri sendiri dari pendapat kita sebagai maksudnya. 

SEJARAH ILMU KALKULUS

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus differensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Kalkulus Vektor (Bahasa Inggris: Vector Calculus) (atau sering disebut Analisis Vektor) dalam matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan fisikawan dalam menyelasikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor.

Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar, dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang skalar adalah temperatur udara di dalam suatu kamar. Kalkulus vektor juga fokus pada bidang vektor, dimana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang vektor adalah aliran air di laut di mana dalam setiap titik arah aliran bisa berbeda-beda.

Karena ruang M(n,1) diidentifikasikan dengan ruang Euklides Rⁿ dan M(1,1) diidentifikasikan dengan R, notasi di sini dapat mengakomodasi operasi biasa dalam kalkulus vektor.

• Vektor singgung terhadap kurva x : R → Rⁿ adalah 

                        

• Gradien fungsi skalar f : Rⁿ → R

                       

          Turunan berarah f ke arah v adalah

           

• Diferensial fungsi f : R^m → Rⁿ dideskripsikan oleh matriks Jacobi

           
         Diferensial sepanjang f dari vektor v dalam R^m adalah
                   

Dalam matematika kalkulus matriks adalah notasi khusus untuk menghitung kalkulus multivariabel (kalkulus peubah banyak), terutama pada ruang matriks. Pada ruang matriks notasi ini mendefinisikan turunan matriks. Notasi ini cocok untuk memerikan sistem persamaan diferensial, dan mengambil turunan dari fungsi matriks terhadap variabel berbentuk matriks pula. Kalkulus matriks umum digunakan dalam statistika dan rekayasa, sedangkan notasi indeks tensor lebih disukai dalam fisika

Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.

• Vektor singgung kurva F : R → M(n,m)

 

• Gradien fungsi skalar f : M(n,m) → R

Perhatikan bahwa urutan indeks gradien terhadap X terbalik dibandingkan dengan urutan indeks X. Turunan berarah f ke arah matriks Y diberikan oleh

                 

• Diferensial atau turunan matriks dari fungsi adalah unsur dari , sebuah tensor peringkat empat (pembalikan m dan n di sini menandakan ruang dual dari M(n,m)). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks m×n yang masing-masing entrinya adalah matriks p×q.

         

  

Catat pula bahwa tiap ∂F/∂X_i,j adalah matriks p×q yang didefinisikan seperti di atas. Catat pula bahwa matriks ini memiliki indeks yang dibalikkan: m baris dan n kolom. Diferensial sepanjang F dari sebuah matriks Y berukuran n×m dalam M(n,m) adalah

            

Definisi ini meliputi semua definisi sebelumnya sebagai kasus khusus.

 

Persamaan identitas

Perkalian matriks tidak komutatif, karena itu agar identitas berikut berlaku, urutan perkalian tidak boleh diubah.

• Kaidah rantai: Bila Z adalah fungsi dari Y, yang pada gilirannya adalah fungsi dari X

 

          

• Kaidah darab:

                 

 

KALKULUS

CARA MENGHITUNG LIMIT BENTUK TAK TENTU

Pengertian keberadaan  limit di suatu titik dijelaskan menggunakan pengertian limit sepihak yaitu limit kiri dan limit kanan.  Bila nilai limit kiri sama dengan limit kanan maka limit di suatu titik dikatakan ada. Sebaliknya bila nilai limit kanan tidak sama dengan nilai limit kiri maka dikatakan nilai limit dari sebuah fungsi tidak ada. Untuk menghitung nilai limit dari sebuah fungsi sangat tergantung dari bentuk fungsi yang berakibat pada bentuk limit itu sendiri. Ada beberapa bentuk limit fungsi yang dinamakan bentuk tak tentu. Limit bentuk tak tentu adalah   dan . Berikut diberikan contoh soal latihan.

Latihan # 1

 

Jawab:

      

Latihan # 2

 Bila maka a + b = …

 

Karena limit penyebut, maka agar nilai limit fungsinya ada bentuk limitnya harus . Akibatnya yang menghasilkan hubungan antara a dan b, yaitu 8a + b = 0, diperoleh b = – 8a,  sehingga pembilangnya menjadi
jadi . Jadi a = 1, sehingga a + b = – 7

 

Latihan # 3

Bila maka a  = …
 

Jawab : ditinggalkan sebagai latihan

 

Latihan # 4

 

Jawab: ditinggalkan sebagai latihan

Latihan # 5

Bila   maka
 
Jawab: ditinggalkan sebagai latihan